כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
יהי \(\left(\MKbbx,\left|\cdot\right|\right)\) מרחב מטרי1בהינתן שתי נקודות \(A,B\in\MKbbx\), המרחק ביניהן יסומן ב-\(\left|AB\right|\)..
הגדרה 1.1. זווית\(\:\) זווית ב-\(\MKbbx\) היא שלשה סדורה \(\left(A,O,B\right)\), כך ש-\(A,B,O\in\MKbbx\) ו-\(A,B\) שונות מ-\(O\).
\(\clubsuit\)
אנו מתחילים כעת את צעדינו הראשונים בפענוח המושג "פונקציית זווית" - פונקציה המקבלת זווית ומחזירה את גודלה. נגדיר תחילה מושג מופשט יותר הנקרא "מטריקה של קרנות" - זוהי פונקציה המודדת "מרחק" בין שתי קרנות בעלות קודקוד משותף, ונראה בהמשך הדרך שפונקציית זווית היא מטריקה של קרנות המקיימת תנאים נוספים.
\(\clubsuit\)
הסימון "\(\angle AOB\)" (ודומיו) משמש כאן בתור הערך שמחזירה הפונקציה \(\angle\) עבור הזווית \(\left(A,O,B\right)\), בהמשך נשתמש בסימון זה גם עבור הזווית עצמה (השלשה \(\left(A,O,B\right)\)). לא יהיה כאן שום בלבול מפני שההבדל בין שלשה סדורה של נקודות לבין מספר ממשי גדול למדי, ובכל מקום יהיה ברור לאיזה מהם אנו מתכוונים.
\(\clubsuit\)
הערות (לפי מספרי הסעיפים):
אנחנו לוקחים תמיד את הזווית הקטנה מבין השתיים שמגדירות הקרניים. ניתן להחליף את המספר \(1\) בכל מספר חיובי אחר, הסיבה לכך שלא בחרתי במקומו את \(360\) (מעלות) היא שזהו מספר שרירותי, ומאידך לא בחרתי ב-\(2\pi\) (רדיאנים) משום שהגדרת \(\pi\) דורשת דברים שנלמד בהמשך.
הזווית תלויה אך ורק בקרניים התוחמות אותה ולא בסדר שבו הן מופיעות.
זהו הסעיף שמספר לנו מה הקשר בין הפונקציה \(\angle\) למבנה המרחב המטרי.
כל ארבע נקודות במרחב מגדירות פירמידה שבסיסה משולש. אם הפירמידה אינה מנוונת (כלומר אינה מוכלת במישור), אז לכל שלוש זוויות בעלות קודקוד משותף - הסכום של כל שתיים מהן גדול מהשלישית. בנוסף, הסכום של שלוש זוויות בעלות קודקוד משותף אינו יכול להיות ממעגל שלם (\(360^{\circ}\)). נשים לב לכך שאמירה זו אינה נכונה עבור ארבע זוויות ומעלה, אלא רק עבור שלוש.
בסעיף זה שלושת תתי-הסעיפים הראשונים נותנים סימנים מתי ארבע נקודות נמצאות על מישור אחד, ומחייבים שאם זה המצב התכונות המאפיינות ארבע נקודות על מישור אחד תתקיימנה גם בשאר הזוויות האפשריות בין ארבע הנקודות. תת-הסעיף האחרון אומר שאם בין שתי קרניים נמצאת קרן שלישית (כשלכולן קצה משותף), אז לכל פירמידה מנוונת שנוצרת מאותן שתי הקרניים - ניתן להחליף אחת מהן בקרן השלישית ולקבל פירמידה מנוונת.
הגדרה 1.2. מטריקה של קרנות\(\:\) נסמן ב-\(\check{\MKbbx}\) את קבוצת הזוויות ב-\(\MKbbx\), ונאמר שפונקציה \(\angle:\check{\MKbbx}\rightarrow\MKreal\) היא מטריקה של קרנות על \(\left(\MKbbx,\left|\cdot\right|\right)\), אם לכל ארבע נקודות \(A,B,C,O\in\MKbbx\) כך ש-\(A,B,C\) שונות מ-\(O\), מתקיימות חמש התכונות הבאות:
אי-שליליות ויחידת מידה -\[
0\leq\angle AOB\leq\frac{1}{2}
\]
אי-שוויונות הפירמידה -\[\begin{align*}
& \angle AOC\leq\angle AOB+\angle BOC\\
& \angle AOB+\angle BOC+\angle COA\leq1
\end{align*}\]אם \(\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC\), נאמר שהקרן\(R_{OB}\)נמצאת בין הקרנות\(R_{OA}\) ו-\(R_{OC}\), או שהקרן\(R_{OB}\)מחלקת את הזווית שבין הקרנות\(R_{OA}\) ו-\(R_{OC}\)2נגדיר בהמשך מהי "קרן", ובינתיים נתייחס לניסוח זה כהגדרה פורמלית בלבד.. כמו כן, אם \(\angle AOB+\angle BOC+\angle COA=1\) נאמר שהקרנות\(R_{OA},R_{OB},R_{OC}\)מחלקות זווית שלמה.
שוויונות הפירמידה המנוונת -
אם הקרן \(R_{AO}\) נמצאת בין הקרנות \(R_{AB}\) ו-\(R_{AC}\) אז מתקיימת לפחות אחת משתי האפשרויות הבאות:
הקרן \(R_{OA}\) נמצאת בין הקרנות \(R_{OB}\) ו-\(R_{OC}\)
הקרנות \(R_{OA},R_{OB},R_{OC}\) מחלקות זווית שלמה
כל שניים מארבעת הפסוקים הבאים גוררים את שני האחרים:
הקרן \(R_{AO}\) נמצאת בין הקרנות \(R_{AB}\) ו-\(R_{AC}\)
הקרן \(R_{OA}\) נמצאת בין הקרנות \(R_{OB}\) ו-\(R_{OC}\)
הקרן \(R_{BC}\) נמצאת בין הקרנות \(R_{BA}\) ו-\(R_{BO}\)
הקרן \(R_{CB}\) נמצאת בין הקרנות \(R_{CA}\) ו-\(R_{CO}\)
אם הקרנות \(R_{OA},R_{OB},R_{OC}\) מחלקות זווית שלמה, אז מתקיימים שלושת הפסוקים הבאים:
הקרן \(R_{AO}\) נמצאת בין הקרנות \(R_{AB}\) ו-\(R_{AC}\)
הקרן \(R_{BO}\) נמצאת בין הקרנות \(R_{BA}\) ו-\(R_{BC}\)
הקרן \(R_{CO}\) נמצאת בין הקרנות \(R_{CA}\) ו-\(R_{CB}\)
נניח ש-\(\angle AOB\) אינה זווית שטוחה. לכל נקודה \(O\neq D\in\MKbbx\) כך שהקרן \(R_{OD}\) נמצאת בין הקרנות \(R_{OA}\) ו-\(R_{OB}\):
אם הקרן \(R_{OC}\) נמצאת בין הקרנות \(R_{OA}\) ו-\(R_{OB}\), אז הקרן \(R_{OD}\) נמצאת בין הקרנות \(R_{OA}\) ו-\(R_{OC}\) ו/או שהקרן \(R_{OD}\) נמצאת בין הקרנות \(R_{OB}\) ו-\(R_{OC}\).
אם הקרנות \(R_{OA},R_{OB},R_{OC}\) מחלקות זווית שלמה, אז הקרנות \(R_{OD},R_{OB},R_{OC}\) מחלקות זווית שלמה ו/או שהקרנות \(R_{OA},R_{OD},R_{OC}\) מחלקות זווית שלמה.
הגדרה 1.3. לכל \(A,B,O\in\MKbbx\) כך ש-\(O\) נמצאת בין \(A\) ל-\(B\).
אם \(\angle AOB=0\) נאמר ש-\(\angle AOB\) היא זווית מנוונת.
אם \(0<\angle AOB<\frac{1}{4}\) נאמר ש-\(\angle AOB\) היא זווית חדה.
אם \(\angle AOB=\frac{1}{4}\) נאמר ש-\(\angle AOB\) היא זווית ישרה.
אם \(\frac{1}{4}<\angle AOB<\frac{1}{2}\) נאמר ש-\(\angle AOB\) היא זווית קהה.
אם \(\angle AOB=\frac{1}{2}\) נאמר ש-\(\angle AOB\) היא זווית שטוחה.
1.2 קרנות
יהי \(\left(\MKbbx,\left|\cdot\right|\right)\) מרחב מטרי, נניח שיש ב-\(\MKbbx\) שתי נקודות שונות, ותהא \(\angle\) מטריקה של קרנות על מרחב זה.
מסקנה 1.4. לכל \(A,O\in\MKbbx\) כך ש-\(A\neq O\), הזווית \(\angle AOA\) היא זווית מנוונת.
הוכחה. מתקיים \(\left|AA\right|=0=\left|\left|OA\right|-\left|OA\right|\right|\), ולכן משוויונות המשולש המנוון נובע ש-\(\angle AOA=0\).
תזכורת:
פסאודו-מטריקה היא פונקציה המקיימת את שלוש התכונות הנדרשות ממטריקה (חיוביות בהחלט, סימטריה וא"ש המשולש), למעט הבדל אחד: ייתכן שישנן שתי נקודות שונות שהמרחק ביניהן הוא \(0\).
תזכורת:
כל פסאודו-מטריקה מגדירה יחס שקילות על המרחב באופן הבא: שתי נקודות הן שקולות אם הפסאודו-מטריקה מחזירה \(0\) עבור זוג סדור שהן איבריו.
תזכורת:
כל פסאודו-מטריקה מגדירה מטריקה על מחלקות השקילות של יחס השקילות המתאים, וזאת ע"י הגדרת המרחק בין שתי מחלקות שקילות בתור הערך שמחזירה הפסאודו-מטריקה עבור שני נציגים של המחלקות. בפרט, ערך זה אינו תלוי בנציגים, ובמקרה שלנו זה אומר שלכל \(A,B,C,O\in\MKbbx\) כך ש-\(A,B,C\) שונות מ-\(O\), אם \(\angle AOB=0\) אז \(\angle AOC=\angle BOC\).
סימון:
לכל נקודה \(O\in\MKbbx\) נסמן ב-\(R_{O}\) את קבוצת הקרנות ש-\(O\) היא קודקוד שלהן, ולכל \(A,B\in\MKbbx\) כך ש-\(A,B\) שונות מ-\(O\) נסמן \(\angle\left(R_{OA},R_{OB}\right):=\angle AOB\).
\(\clubsuit\)
סימון זה אינו שימושי במיוחד, ולא נשתמש בו הרבה. חשיבותו הרבה נעוצה בהצבעתו על העובדה שהזווית תלויה אך ורק בקרנות התוחמות אותה, ולא בנקודות המייצגות אותן.
מסקנה 1.5. לכל נקודה \(O\in\MKbbx\), הפונקציה \(\left(A,B\right)\mapsto\angle AOB\) היא פסאודו-מטריקה על \(\MKbbx\setminus\left\{ O\right\} \).
מסקנה 1.6. לכל נקודה \(O\in\MKbbx\), היחס "\(\sim_{O}\)" המוגדר ע"י \(A\sim_{O}B\Longleftrightarrow\angle AOB=0\), הוא יחס שקילות על \(\MKbbx\setminus\left\{ O\right\} \).
הגדרה 1.7. לכל \(O,A\in\MKbbx\) כך ש-\(A\neq O\), נאמר שהקבוצה \(R_{OA}:=\left\{ P\in\MKbbx\mid\angle AOP=0\right\} \) היא קרן, וש-\(O\) היא קודקוד של \(R_{OA}\).
מסקנה 1.8. לכל \(O\in\MKbbx\), הזוג הסדור \(\left(R_{O},\angle\right)\) הוא מרחב מטרי3כאשר כאן \(\angle\) היא הפונקציה \(\angle:R_{O}\rightarrow\MKreal\) המוגדרת ע"י \(\angle\left(R_{OA},R_{OB}\right):=\angle AOB\)..
מסקנה 1.9. אי-שוויון הפירמידה ההפוך\(\:\) לכל \(A,B,C\in\MKbbx\) כך ש-\(A,B,C\) שונות מ-\(O\), מתקיים \(\left|\angle AOB-\angle BOC\right|\leq\angle AOC\).
הוכחה. נובע ישירות מא"ש המשולש ההפוך במרחב המטרי \(\left(R_{O},\angle\right)\):\[\begin{align*}
\left|\angle AOB-\angle BOC\right| & =\left|\angle\left(R_{OA},R_{OB}\right)-\angle\left(R_{BA},R_{OC}\right)\right|\\
& \leq\angle\left(R_{OA},R_{OC}\right)=\angle AOC
\end{align*}\]
1.3 היחס "נמצאת בין"
הגדרה 1.10. לכל \(A,B\in\MKbbx\) נגדיר:
הקטע הפתוח שבין \(A\) ל-\(B\) הוא הקבוצה \(\left(A,B\right):=\left\{ X\in\MKbbx\mid B\text{ל-}\ A\ \text{נמצאת בין}\ X\right\} \).
הקטע הסגור שבין \(A\) ל-\(B\) הוא הקבוצה \(\left[A,B\right]:=\left(A,B\right)\cup\left\{ A,B\right\} \).
\(\clubsuit\)
נשים לב שקטע פתוח אינו בהכרח קבוצה פתוחה.
מסקנה 1.11. לכל \(A,B\in\MKbbx\) מתקיים \(\left(A,B\right)=\left(B,A\right)\).
מסקנה 1.12. לכל \(A\in\MKbbx\) מתקיים \(\left(A,A\right)=\emptyset\).
הוכחה. נניח בשלילה שקיימת \(O\in\left(A,A\right)\), ומכאן שע"פ שוויונות המשולש המנוון מתקיים \(0=\left|AA\right|=\left|AO\right|+\left|OA\right|=2\cdot\left|AO\right|\), כלומר \(\left|AO\right|=0\) ו-\(A=O\) בסתירה לכך ש-\(\angle AAA\) אינה מוגדרת.
מסקנה 1.13. כל קטע סגור הוא קבוצה סגורה.
תהיינה \(A,B,C,D,O\in\MKbbx\) כך ש-\(A,B,C\) שונות מ-\(O\).
טענה 1.14. \(\angle AOB\) היא זווית שטוחה אם"ם \(\angle ABO\) ו-\(\angle OAB\) הן זוויות מנוונות. בפרט, לכל שלוש נקודות, רק אחת מהן יכולה להיות בין שתי האחרות.
הוכחה. \(\:\)
\(\Leftarrow\) נניח ש-\(\angle AOB\) היא זווית שטוחה (כלומר \(\angle AOB=\frac{1}{2}\)), ע"פ שוויונות המשולש המנוון מתקיים \(\left|AB\right|=\left|AO\right|+\left|OB\right|\).\[\begin{align*}
\Rightarrow\left|AO\right| & =\left|\left|AO\right|\right|=\left|\left|AB\right|-\left|OB\right|\right|\\
\Rightarrow\left|BO\right| & =\left|\left|OB\right|\right|=\left|\left|AB\right|-\left|OA\right|\right|
\end{align*}\]כעת, משוויונות המשולש המנוון נקבל ש-\(\angle ABO=\angle OAB=0\), כלומר \(\angle ABO\) ו-\(\angle OAB\) הן זוויות מנוונות.
\(\Rightarrow\) נניח ש-\(\angle ABO\) ו-\(\angle OAB\) הן זוויות מנוונות (כלומר \(\angle ABO=\angle OAB=0\)), ולכן ע"פ שוויונות המשולש המנוון מתקיים:\[\begin{align*}
\left|AO\right|= & \left|\left|BO\right|-\left|BA\right|\right|=\left|\left|AB\right|-\left|OB\right|\right|\\
\left|OB\right|= & \left|\left|AB\right|-\left|AO\right|\right|
\end{align*}\]נשים לב לכך שאם \(\left|AB\right|\geq\left|OB\right|\) ו/או \(\left|AB\right|\geq\left|AO\right|\) אז ע"י העברת אגף נקבל ש-\(\left|AB\right|=\left|AO\right|+\left|OB\right|\), ומכאן ש-\(\angle AOB\) היא זווית שטוחה (שוויונות המשולש המנוון). אם כן נניח בשלילה ש-\(\left|AB\right|<\left|OB\right|\) וגם \(\left|AB\right|<\left|AO\right|\) אז מתקיים:\[\begin{align*}
\left|AO\right| & =\left|OB\right|-\left|AB\right|\\
\left|OB\right| & =\left|AO\right|-\left|AB\right|\\
\Rightarrow\left|OA\right|+\left|AB\right| & =\left|AB\right|+\left|AO\right|=\left|OB\right|=\left|BO\right|\\
\Rightarrow\left|AB\right|+\left|OB\right| & =\left|AB\right|+\left|OB\right|=\left|AO\right|
\end{align*}\]ולכן ע"פ שוויונות המשולש המנוון, הזוויות \(\angle OAB\) ו-\(\angle ABO\) הן זוויות שטוחות - בסתירה להנחה שהן מנוונות. מכאן ש-\(\left|AB\right|\geq\left|OB\right|\) ו/או \(\left|AB\right|\geq\left|AO\right|\) וכפי שהראינו לעיל נובע מזה ש-\(\angle AOB\) היא זווית שטוחה.
מסקנה 1.15. אם \(\angle OBC\) היא זווית שטוחה, או ש-\(\angle OCB\) היא זווית שטוחה, אז \(\angle AOB=\angle AOC\).
טענה 1.16. אם \(\angle AOB\) היא זווית מנוונת ובנוסף \(A\neq B\), אז בדיוק אחת משתי הזוויות \(\angle ABO\) ו-\(\angle BAO\) היא זווית שטוחה.
הוכחה. ע"פ שוויונות המשולש המנוון מתקיים \(\left|AB\right|=\left|\left|OB\right|-\left|OA\right|\right|\), ומכאן שמתקיימת לפחות אחת משתי האפשרויות הבאות:
\(\left|AB\right|=\left|OB\right|-\left|OA\right|\) וממילא \(\left|OA\right|+\left|AB\right|=\left|OB\right|\), ושוב ע"פ שוויונות המשולש המנוון מתקיים \(\measuredangle OAB=\frac{1}{2}\).
\(\left|AB\right|=\left|OA\right|-\left|OB\right|\) וממילא \(\left|AB\right|+\left|BO\right|=\left|AB\right|+\left|OB\right|=\left|OA\right|\), ושוב ע"פ שוויונות המשולש המנוון מתקיים \(\angle ABO=\frac{1}{2}\).
לא ייתכן ששתי הזוויות שטוחות משום שהדבר יהווה סתירה לטענה 1.14.
טענה 1.17. אם \(O\in\left(A,B\right)\), אז מתקיימת לכל היותר אחת משתי האפשרויות הבאות:
\(C\in\left(A,O\right)\)
\(C\in\left(B,O\right)\)
הוכחה. נניח בשלילה ש-\(C\in\left(A,O\right)\) וגם \(C\in\left(B,O\right)\) (כלומר \(\angle ACO=\angle BCO=\frac{1}{2}\)), אם כן ע"פ שוויונות המשולש המנוון מתקיים:\[\begin{align*}
\left|AO\right| & =\left|AC\right|+\left|CO\right|\\
\left|BO\right| & =\left|BC\right|+\left|CO\right|
\end{align*}\] מהנתון נובע כי \(\left|AB\right|=\left|AO\right|+\left|OB\right|\) (שוב ע"פ שוויונות המשולש המנוון), אם כן קיבלנו:\[
{\color{blue}\left|AB\right|=}\left|AO\right|+\left|OB\right|{\color{blue}=\left|AC\right|+{\color{red}2\cdot\left|CO\right|}+\left|CB\right|}
\]מהנחת השלילה (\(C\) נמצאת בין \(B\) ל-\(O\)) וממסקנה 1.15 נובע כי \(\angle ACB=\angle ACO=\frac{1}{2}\), ולכן משוויונות המשולש המנוון נקבל ש-\({\color{blue}\left|AB\right|=\left|AC\right|+\left|CB\right|}\). מכאן ש-\(\left|CO\right|=0\), כלומר \(C=O\), אך זה עומד בסתירה לכך ש-\(C\) נמצאת בין \(A\) ל-\(O\). אם כן הנחת השלילה אינה נכונה - שתי האפשרויות אינן יכולות להתקיים יחד.
מסקנה 1.18. אם \(B,C\in\left(A,D\right)\) אז מתקיימת בדיוק אחת משלוש האפשרויות הבאות:
הוכחה. נניח ש-\(B\) ו-\(C\) נמצאות בין \(A\) ל-\(D\) וש-\(B\neq C\). ע"פ טענה 1.14 מתקיים \(\angle BAD=0\), ולכן ע"פ מסקנה 1.15 גם \(\angle BAC=0\). מכאן שע"פ טענה 1.16 בדיוק אחת משתי הזוויות \(\angle ABC\) ו-\(\angle ACB\) היא זווית שטוחה, ובאותו אופן נוכיח שבדיוק אחת משתי הזוויות \(\angle BCD\) ו-\(\angle CBD\) שטוחה. ע"פ הטענה הקודמת (1.17) לא ייתכן ש-\(\angle ABC\) ו-\(\angle CBD\) שטוחות גם יחד, ולכן שתי האפשרויות היחידות הן:
\(B\) נמצאת בין \(A\) ל-\(C\) ו-\(C\) נמצאת בין \(B\) ל-\(D\).
\(B\) נמצאת בין \(C\) ל-\(D\) ו-\(C\) נמצאת בין \(A\) ל-\(B\).
מסקנה 1.19. אם \(B\in\left(A,C\right)\) ו-\(C\in\left(B,D\right)\), אז \(\left[B,C\right]\subseteq\left(A,D\right)\).
הוכחה. נניח ש-\(B\in\left(A,C\right)\) ו-\(C\in\left(B,D\right)\), כלומר \(B\) נמצאת בין \(A\) ל-\(C\) ו-\(C\) נמצאת בין \(B\) ל-\(D\). מכאן שע"פ מסקנה 1.15, לכל \(X\in\left[B,C\right]\) מתקיים \(\angle AXD=\angle ABC=\angle BCD=\frac{1}{2}\) ומהגדרה \(X\in\left(A,D\right)\).
מסקנה 1.20. אם \(B\in\left(A,D\right)\) ו-\(C\in\left(B,D\right)\), אז \(B\in\left(A,C\right)\) ו-\(C\in\left(A,D\right)\).
הוכחה. נניח ש-\(B\in\left(A,D\right)\) ו-\(C\in\left(B,D\right)\), כלומר \(B\) נמצאת בין \(A\) ל-\(D\) ו-\(C\) נמצאת בין \(B\) ל-\(D\). ע"פ מסקנה 1.15 מתקיים \(\angle ABC=\angle ABD=\frac{1}{2}\), כלומר \(B\) נמצאת בין \(A\) ל-\(C\). מהמסקנה הקודמת (1.19) נקבל ש-\(C\) נמצאת בין \(A\) ל-\(D\).
מסקנה 1.21. לכל שלוש נקודות שונות, השייכות לקרן אחת, אחת משתי הנקודות נמצאת בין שתי האחרות.
מסקנה 1.22. לכל קרן בעלת שתי נקודות לפחות, קיים קודקוד יחיד.
הוכחה. נניח ש-\(A\neq B\), וששתיהן שייכות לקרן \(R\) שקודקודה \(O\). כמו כן, יהי \(O'\in\MKbbx\) קודקוד של \(R\). נניח בשלילה ש-\(O'\neq O\), ונניח בהג"כ ש-\(A\) נמצאת בין \(B\) ל-\(O\) (מסקנה 1.21). מכאן ש-\(OBO'=\angle ABO'=0\) ולכן \(O'\in R\) בסתתירה לכך שקודקוד של קרן אינו שייך אליה ע"פ הגדרה.
משפט 1.23. התנאים הבאים שקולים:
\(O\) נמצאת בין \(A\) ל-\(B\).
הקרן \(R_{OC}\) נמצאת בין הקרנות \(R_{OA}\) ו-\(R_{OC}\), ובנוסף, הקרנות \(R_{OA},R_{OB},R_{OC}\) מחלקות זווית שלמה.
מסקנה 2.6. תת-קבוצה \(S\subseteq\MKbbx\) היא קווית אם"ם לכל שלוש נקודות \(A,B,C\in S\) מתקיימת לפחות אחת משלוש האפשרויות הבאות:\[\begin{align*}
\left|AB\right| & =\left|AC\right|+\left|CB\right|\\
\left|AC\right| & =\left|AB\right|+\left|BC\right|\\
\left|BC\right| & =\left|BA\right|+\left|AC\right|
\end{align*}\]ובאופן שקול: מתקיים \(\left|AB\right|=\left|\left|AC\right|\pm\left|CB\right|\right|\).
מסקנה 2.7. תהא \(S\subseteq\MKbbx\) תת-קבוצה, \(S\) קווית אם"ם לכל שלוש נקודות \(A,B,O\in S\) כך ש-\(A\) ו-\(B\) שונות מ-\(O\), \(\angle AOB\) היא זווית שטוחה או מנוונת.
הגדרה 2.8. נאמר שקבוצה קווית \(S\subseteq\MKbbx\) היא קבוצה קווית מרבית (או קבוצה קווית מקסימלית), אם לכל קבוצה קווית \(S'\subseteq\MKbbx\) המקיימת \(S\subseteq S'\) מתקיים \(S=S'\).
משפט 2.9. לכל שתי קבוצות קוויות \(S,T\subseteq\MKbbx\), אם יש ב-\(S\cap T\) שתי נקודות שונות אז \(S\cup T\) היא קבוצה קווית.
הוכחה. תהיינה \(S,T\subseteq\MKbbx\) קבוצות קוויות כך שיש ב-\(S\cap T\) שתי נקודות שונות, ותהיינה \(A,B\in S\cap T\) כך ש-\(A\neq B\). כעת תהיינה \(C,D,E\in S\cup T\), אם שלושתן נמצאות באותה קבוצה (\(S\) או \(T\)) אז אין צורך להוכיח לגביהן דבר, אחרת אחת מהן נמצאת בקבוצה אחת ושתי האחרות בקבוצה האחרת. אם כן נניח בהג"כ ש-\(C\in S\) ו-\(D,E\in T\), מהגדרה אחת משלוש הנקודות \(A,B,C\) נמצאת בין שתי האחרות, ומכאן ש-\(\angle BAD=\angle CAD\) ו-\(\angle BAE=\angle CAE\) (מסקנה 1.15), כלומר \(\angle CAD\) ו-\(\angle CAE\) הן זוויות שטוחות או מנוונות (לאו דווקא ביחד).
אם \(\angle CAD\) שטוחה (כלומר \(A\) נמצאת בין \(C\) ל-\(D\)), אז נקבל שוב (מסקנה 1.15) ש-\(\angle DCE=\angle CDA\). ע"פ טענות 1.14 ו-1.16, מהיות \(\angle CAD\) שטוחה/מנוונת נובע ש-\(\angle DCE=\angle CDA\) מנוונת/שטוחה.
אם \(\angle CAD\) מנוונת אז אחת מבין שתי הזוויות \(\angle ACD\) ו-\(\angle ADC\) שטוחה (טענה 1.16), ולכן \(\angle CDE=\angle ADE\) או ש-\(\angle DCE=\angle ACE\), ושוב נקבל באופן דומה מטענות 1.14 ו-1.16 ש-\(\angle DCE=\angle ACE\) מנוונת/שטוחה.
מסקנה 2.10. לכל שתי נקודות שונות \(A,B\in\MKbbx\) קיימת קבוצה קווית מרבית יחידה \(S\subseteq\MKbbx\) כך ש-\(A,B\in S\).
טענה 2.11. תהא \(S\subseteq\MKbbx\) קבוצה קווית, ותהיינה \(A,B,O\in S\) כך ש-\(A\) ו-\(B\) שונות מ-\(O\). לכל \(O\neq C\in\MKbbx\) מתקיים \(\angle BOC=\angle AOC\) ו/או \(\angle BOC=\frac{1}{2}-\angle AOC\).
הוכחה. ע"פ הלמה (2.7) \(\angle AOB\) היא זווית שטוחה או זווית מנוונת.
אם \(\angle AOB\) היא זווית שטוחה אז לכל נקודה \(O\neq C\in\MKclg\) מתקיים \(\angle AOC+\angle COB=\angle AOB=\frac{1}{2}\) (משפט 1.23), וממילא \(\angle COB=\frac{1}{2}-\angle COA\).
ע"פ מתקיים \(\left|\angle AOC-\angle BOC\right|\leq\angle AOB\), מכאן שאם \(\angle AOB\) היא זווית מנוונת אז \(\angle BOC=\angle AOC\).
טענה 2.12. תהא \(S\) קבוצה קווית, ותהיינה \(A,B,O\in S\) כך ש-\(O\) נמצאת בין \(A\) ל-\(B\). לכל נקודה \(X\in S\), השונה מ-\(A,B,O\), מתקיימת בדיוק אחת מארבע האפשרויות הבאות:
\(A\) נמצאת בין \(O\) ל-\(X\), וגם \(A\) נמצאת בין \(B\) ל-\(X\).
\(X\) נמצאת בין \(A\) ל-\(O\), וגם \(X\) נמצאת בין \(A\) ל-\(B\).
\(X\) נמצאת בין \(B\) ל-\(O\), וגם \(X\) נמצאת בין \(A\) ל-\(B\).
\(B\) נמצאת בין \(O\) ל-\(X\), וגם \(B\) נמצאת בין \(A\) ל-\(X\).
הוכחה. \(\:\)
בכל אחת מארבע האפשרויות, החלק הראשון גורר את החלק השני לפי מסקנה 1.15.
נניח בשלילה שאף אחת מארבע האפשרויות אינה מתקיימת. מהעובדה שאפשרויות1ו-2אינן מתקיימות, ומהיות \(S\) קווית, נובע ש-\(O\) נמצאת בין \(A\) ל-\(X\). באותו אופן נקבל מהעובדה שאפשרויות3ו-4אינן מתקיימות ש-\(O\) נמצאת בין \(B\) ל-\(X\). מכאן ש-\(X\) אינה נמצאת בין \(A\) ל-\(B\) (טענה 1.17), אם כן מהגדרה מתקיימת בדיוק אחת משתי האפשרויות הבאות: \(A\) נמצאת בין \(B\) ל-\(X\) או ש-\(B\) נמצאת בין \(A\) ל-\(X\). נתון ש-\(O\) נמצאת בין \(A\) ל-\(B\), ומכאן ש-\(\angle XAO=\angle XAB\) (מסקנה 1.15). ראינו לעיל ש-\(O\) נמצאת בין \(A\) ל-\(X\), ולכן ע"פ טענה 1.14\(\angle XAO=\angle XAB\) היא זווית מנוונת. כעת נקבל מטענה 1.16 ש-\(\angle ABX\) שטוחה או ש-\(\angle AXB\) שטוחה, אך כבר ראינו ש-\(X\) אינה נמצאת בין \(A\) ל-\(B\) ולכן בהכרח \(\angle ABX\) שטוחה. בהנחות הטענה אין הבדל בין \(A\) ל-\(B\), ולכן נובע מכאן שגם \(\angle BAX\) שטוחה בסתירה לטענה 1.14. אם כן, הוכחנו שלפחות אחת מארבע האפשרויות מתקיימת.
השילובים של כל שתיים מבין ארבע האפשרויות, מלבד השילוב של אפשרויות2ו-3, מהווים סתירה לפי טענה 1.14 (נשים לב לחלק השני של כל אחת מהאפשרויות). ואילו השילוב של אפשרויות2ו-3מהווה סתירה לפי טענה 1.17. אם כן הוכחנו שלכל היותר אחת מארבע האפשרויות מתקיימת.
מסקנה 2.13. תהא \(S\) קבוצה קווית, ותהיינה \(A,B,O\in S\) כך ש-\(O\) נמצאת בין \(A\) ל-\(B\). לכל נקודה \(X\in S\), השונה מ-\(A,B,O\):
אם \(O\) נמצאת בין \(A\) ל-\(X\) אז \(X\) נמצאת בין \(B\) ל-\(O\) או ש-\(B\) נמצאת בין \(O\) ל-\(X\).
אם \(O\) נמצאת בין \(B\) ל-\(X\) אז \(X\) נמצאת בין \(A\) ל-\(O\) או ש-\(A\) נמצאת בין \(O\) ל-\(X\).
הוכחה. נובע ישירות מהטענה הקודמת (2.12) וממסקנה 1.20.
2.2 ישרים
למה 2.14. תהא \(S\subseteq\MKbbx\) קבוצה קווית. לכל שתי נקודות שונות \(A,B\in S\), ולכל \(0<r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=\left|AB\right|\) קיימת לכל היותר נקודה אחת \(C\in S\) כך ש-\(\left|AC\right|=r_{1}\) ו-\(\left|BC\right|=r_{2}\).
הוכחה. תהיינה \(A,B\in S\) שתי נקודות שונות, יהיו \(0<r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=\left|AB\right|\). ותהיינה \(C,D\in S\) כך ש-\(\left|AC\right|=\left|AD\right|=r_{1}\) ו-\(\left|BC\right|=\left|BD\right|=r_{2}\)4אם אין נקודות כאלה הטענה נכונה ממילא.. נניח בשלילה ש-\(C\neq D\), כלומר \(\left|CD\right|\neq0\). מהיות \(S\) קבוצה קווית נובע כי \(\left|CD\right|=\left|\left|CA\right|\pm\left|AD\right|\right|\), ולכן מהנחת השלילה נקבל ש-\(\left|CD\right|=2r_{1}\) וש-\(A\) נמצאת בין \(C\) ל-\(D\). באותו אופן נקבל ש-\(\left|CD\right|=2r_{2}\) וש-\(B\) נמצאת בין \(C\) ל-\(D\), ולכן נוכל לסמן \(r:=r_{1}=r_{2}\). ע"פ מסקנה 1.18 מתקיימת אחת משתי האפשרויות הבאות:
\(A\) נמצאת בין \(C\) ל-\(B\) ו-\(B\) נמצאת בין \(A\) ל-\(D\),\[\begin{align*}
\Rightarrow2r & =\left|CD\right|=\left|CA\right|+\left|AD\right|\\
& =\left|CA\right|+\left|AB\right|+\left|BD\right|\\
& =2r+\left|AB\right|
\end{align*}\]
\(B\) נמצאת בין \(C\) ל-\(A\) ו-\(A\) נמצאת בין \(B\) ל-\(D\),\[\begin{align*}
\Rightarrow2r & =\left|CD\right|=\left|CA\right|+\left|AD\right|\\
& =\left|CB\right|+\left|BA\right|+\left|AD\right|\\
& =2r+\left|BA\right|
\end{align*}\]
הוכחה. משתי האפשרויות נובע ש-\(\left|AB\right|=0\), וזאת בסתירה לכך ש-\(A\) ו-\(B\) הן נקודות שונות.
הגדרה 2.15. קבוצה \(L\subseteq\MKbbx\) תיקרא ישר אם היא מקיימת את שלושת התנאים הבאים:
\(L\) קווית.
יש ב-\(L\) שתי נקודות שונות.
לכל שתי נקודות שונות \(A,B\in L\), ולכל \(0<r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=\left|AB\right|\), קיימת נקודה \(C\in L\) המקיימת \(\left|AC\right|=r_{1}\) ו-\(\left|BC\right|=r_{2}\).
\(\clubsuit\)
כלומר ישר הוא קבוצה קווית שאין בה "חורים".
\(\clubsuit\)
או במילים אחרות: "דרך שתי נקודות עובר ישר אחד לכל היותר".
\(\clubsuit\)
מכאן ואילך נוכל לומר "נקודת החיתוך" (בה"א הידיעה) עבור שני ישרים שונים שאינם זרים.
מסקנה 2.16. כל ישר הוא קבוצה אין-סופית.
מסקנה 2.17. לכל ישר \(L\subseteq\MKbbx\), לכל שתי נקודות שונות \(A,B\in L\), ולכל \(0<r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=\left|AB\right|\), קיימת נקודה יחידה \(C\in L\) כך ש-\(\left|AC\right|=r_{1}\) ו-\(\left|BC\right|=r_{2}\).
מסקנה 2.18. תהא \(S\subseteq\MKbbx\) קבוצה קווית. לכל שתי נקודות שונות \(A,B\in S\), ולכל ישר \(L\subseteq\MKbbx\), אם \(A,B\in L\) אז \(S\subseteq L\).
מסקנה 2.19. כל ישר הוא קבוצה קווית מרבית.
מסקנה 2.20. לכל שני ישרים שונים יש לכל היותר נקודת חיתוך אחת.
מסקנה 2.21. לכל ישר \(L\subseteq\MKbbx\), ולכל \(A,B,O\in L\) כך ש-\(O\) נמצאת בין \(A\) ל-\(B\) מתקיים:\[
L=R_{OA}\MKcupdot\left\{ O\right\} \MKcupdot R_{OB}
\]
שני ישרים הנחתכים בנקודה
נניח שיש ב-\(\MKbbx\) ישרים, ויהיו \(L_{1},L_{2}\subseteq\MKbbx\) ישרים שונים שאינם זרים, תהא \(O\) נקודת החיתוך שלהם5נקודה \(O\in\MKbbx\) תיקרא נקודת חיתוך של תתי-קבוצות \(S,T\subseteq\MKbbx\) אם \(O\in S\cap T\)..
מסקנה 2.22. יהיו \(L_{1},L_{2}\subseteq\MKbbx\) ישרים שונים שאינם זרים, ותהא \(O\in L_{1}\cap L_{2}\) נקודת החיתוך שלהם. קיימות זוויות \(\alpha,\beta\) כך שלכל \(O\neq A\in L_{1}\), ו-\(O\neq B\in L_{2}\) מתקיים \(\angle AOB=\alpha\) ו/או \(\angle AOB=\beta\).
\(\clubsuit\)
מסקנה זו מאפשרת לנו לדבר על שתי הזוויות שבין זוג ישרים הנחתכים בנקודה.
\(\clubsuit\)
הגדרה זו מגדירה יחסים בין זוויות.
הגדרה 2.23. לכל \(A,B\in L_{1}\) ו-\(C,D\in L_{2}\) כך ש-\(O\) נמצאת בין \(A\) ל-\(B\) ובין \(C\) ל-\(D\):
משפט 2.25. כל שתי זוויות קודקודיות שוות זו לזו\(\:\)
הוכחה. כל שתי זוויות קודקודיות הן זוויות צמודות של זווית משותפת, ומכיוון שע"פ המסקנה הקודמת (2.24) שתיהן משלימות אותה לזווית שטוחה, נדע ששתיהן שווות זו לזו.
הגדרות שקולות לישר
למה 2.26. תהא \(S\) קבוצה קווית. אם קיימות שתי נקודות שונות \(A,B\in S\) המקיימות שלכל \(0<r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=\left|AB\right|\), קיימת נקודה \(X\in S\) המקיימת \(\left|AX\right|=r_{1}\) ו-\(\left|BX\right|=r_{2}\); אז לכל נקודה \(C\in S\), ולכל \(0<r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=\left|AC\right|\), קיימת נקודה \(X\in S\) המקיימת \(\left|AX\right|=r_{1}\) ו-\(\left|CX\right|=r_{2}\).
הוכחה. נניח שקיימות \(A,B\in S\) כנ"ל, מכאן ש-\(S\nsubseteq\left\{ A,B\right\} \); אם כן תהא \(C\in S\) נקודה שלישית (\(C\notin\left\{ A,B\right\} \)), יהיו \(0<r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=\left|AC\right|\), ונחלק למקרים (ע"פ מסקנה 2.5 אלו אכן כל המקרים).
נניח ש-\(A\) נמצאת בין \(B\) ל-\(C\) (כלומר \(\left|BC\right|=\left|BA\right|+\left|AC\right|\)).
אם \(r_{1}\pm r_{2}=\left|AC\right|\), נבחר נקודה \(X\in S\) המקיימת \(\left|AX\right|=r_{1}\) ו-\(\left|BX\right|=\left|BA\right|+r_{1}\). מכאן ש-\(A\) נמצאת בין \(B\) ל-\(X\), ולכן \(B\) אינה נמצאת בין \(A\) ל-\(X\) וגם \(X\) אינה נמצאת בין \(A\) ל-\(B\).
בנוסף, אם \(r_{1}+r_{2}=\left|AC\right|\) אז \(C\) אינה נמצאת בין \(A\) לבין \(X\), ולכן ע"פ טענה 2.12\(X\) נמצאת בין \(A\) ל-\(C\).\[
\Rightarrow\left|AC\right|=\left|AX\right|+\left|XC\right|=r_{1}+\left|CX\right|
\]\[
\Rightarrow\left|CX\right|=r_{2}
\]
ואם \(r_{1}-r_{2}=\left|AC\right|\) אז \(X\) אינה נמצאת בין \(A\) ל-\(C\), ולכן ע"פ טענה 2.12\(C\) נמצאת בין \(A\) ל-\(X\).\[
\Rightarrow\left|AX\right|=\left|AC\right|+\left|CX\right|=r_{1}-r_{2}+\left|CX\right|
\]\[
\Rightarrow\left|CX\right|=\left|AX\right|-r_{1}+r_{2}=r_{2}
\]
אם \(r_{2}-r_{1}=\left|AC\right|\), נבחר נקודה \(X\in S\) המקיימת \(\left|AX\right|=r_{1}\) ו-\(\left|BX\right|=\left|\left|BA\right|-r_{1}\right|\).
בנוסף, אם \(\left|BX\right|=\left|BA\right|-r_{1}\) אז \(X\) נמצאת בין \(A\) ל-\(B\), ולכן גם בין \(C\) ל-\(B\) (1.15).\[\begin{align*}
\Rightarrow\left|BC\right| & =\left|BX\right|+\left|XC\right|=\left|BA\right|-r_{1}+\left|CX\right|\\
& =\left|BA\right|+\left|AC\right|-r_{2}+\left|CX\right|\\
& =\left|BC\right|-r_{2}+\left|CX\right|
\end{align*}\]\[
\Rightarrow\left|CX\right|=r_{2}+\left|BC\right|-\left|BC\right|=r_{2}
\]
ואם \(\left|BX\right|=r_{1}-\left|BA\right|\) אז \(B\) נמצאת בין \(A\) ל-\(X\), ולכן גם בין \(C\) ל-\(X\) (1.15).\[\begin{align*}
\Rightarrow\left|CX\right| & =\left|CB\right|+\left|BX\right|=\left|CA\right|+\left|AB\right|+r_{1}-\left|BA\right|\\
& =\left|AC\right|+r_{1}=r_{2}-r_{1}+r_{1}=r_{2}
\end{align*}\]
נניח ש-\(B\) נמצאת בין \(A\) ל-\(C\) (כלומר \(\left|AC\right|=\left|AB\right|+\left|BC\right|\)).
אם \(r_{1}\pm r_{2}=\left|AC\right|\), נבחר נקודה \(X\in S\) המקיימת \(\left|AX\right|=r_{1}\) ו-\(\left|BX\right|=\left|\left|BA\right|-r_{1}\right|\).
בנוסף, אם \(\left|BX\right|=\left|BA\right|-r_{1}\) אז \(X\) נמצאת בין \(A\) ל-\(B\), ולכן גם בין \(A\) ל-\(C\) (1.15).\[\begin{align*}
\Rightarrow\left|AC\right| & =\left|AX\right|+\left|XC\right|\\
& =r_{1}+\left|CX\right|>r_{1}
\end{align*}\]\[
\Rightarrow\left|AC\right|=r_{1}+r_{2}
\]\[
\Rightarrow r_{1}+r_{2}=\left|AX\right|+\left|XC\right|=r_{1}+\left|CX\right|
\]\[
\Rightarrow\left|CX\right|=r_{1}+r_{2}-r_{1}=r_{2}
\]
ואם \(\left|BX\right|=r_{1}-\left|BA\right|\) אז \(B\) נמצאת בין \(A\) ל-\(X\), ולכן \(X\) נמצאת בין \(B\) ל-\(C\) או ש-\(C\) נמצאת בין \(B\) ל-\(X\) (מסקנה 2.13). לא ייתכן ש-\(C\) נמצאת בין \(B\) ל-\(X\) וגם \(r_{1}+r_{2}=\left|AC\right|\) משום שאז נקבל:\[\begin{align*}
r_{1} & =\left|AX\right|=\left|AB\right|+\left|BX\right|\\
& =\left|AB\right|+\left|BC\right|+\left|CX\right|\\
& =\left|AC\right|+\left|CX\right|\\
& =r_{1}+r_{2}+\left|CX\right|>r_{1}
\end{align*}\]וכמו כן, לא ייתכן ש-\(X\) נמצאת בין \(B\) ל-\(C\) וגם \(r_{1}-r_{2}=\left|AC\right|\) משום שאז נקבל:\[\begin{align*}
r_{1} & =\left|AX\right|=\left|AB\right|+\left|BX\right|\\
& =\left|AB\right|+\left|BC\right|-\left|CX\right|\\
& =\left|AC\right|-\left|CX\right|\\
& =r_{1}-r_{2}-\left|CX\right|<r_{1}
\end{align*}\]מכאן שמתקיימת אחת משתי האפשרויות הבאות:
אם \(r_{2}-r_{1}=\left|AC\right|\), נבחר נקודה \(X\in S\) המקיימת \(\left|AX\right|=r_{1}\) ו-\(\left|BX\right|=\left|BA\right|+r_{1}\). מכאן ש-\(A\) נמצאת בין \(B\) ל-\(X\), ולכן גם בין \(C\) לבין \(X\) (1.15).\[
\Rightarrow\left|CX\right|=\left|CA\right|+\left|AX\right|=r_{2}-r_{1}+r_{1}=r_{2}
\]
נניח ש-\(C\) נמצאת בין \(A\) ל-\(B\) (כלומר \(\left|AB\right|=\left|AC\right|+\left|CB\right|\)).
אם \(r_{1}\pm r_{2}=\left|AC\right|\), נבחר נקודה \(X\in S\) המקיימת \(\left|AX\right|=r_{1}\) ו-\(\left|BX\right|=\left|\left|BA\right|-r_{1}\right|\).
בנוסף, אם \(\left|BX\right|=\left|BA\right|-r_{1}\) אז \(X\) נמצאת בין \(A\) ל-\(B\), ולכן מתקיימת אחת משתי האפשרויות הבאות (מסקנה 1.18):
\(X\) נמצאת בין \(A\) ל-\(C\) ו-\(C\) נמצאת בין \(B\) ל-\(X\).\[\begin{align*}
\Rightarrow r_{1}\pm r_{2} & =\left|AC\right|=\left|AX\right|+\left|XC\right|\\
& =r_{1}+\left|CX\right|>r_{1}
\end{align*}\]\[
\Rightarrow r_{1}+r_{2}=\left|AC\right|=r_{1}+\left|CX\right|
\]\[
\Rightarrow\left|CX\right|=r_{1}+r_{2}-r_{1}=r_{2}
\]
\(C\) נמצאת בין \(A\) ל-\(X\) ו-\(X\) נמצאת בין \(B\) ל-\(C\).\[\begin{align*}
\Rightarrow r_{1}\pm r_{2} & =\left|AC\right|=\left|AX\right|-\left|CX\right|\\
& =r_{1}-\left|CX\right|<r_{1}
\end{align*}\]\[
\Rightarrow r_{1}-r_{2}=\left|AC\right|=r_{1}-\left|CX\right|
\]\[
\Rightarrow\left|CX\right|=r_{1}-r_{1}+r_{2}=r_{2}
\]
ואם \(\left|BX\right|=r_{1}-\left|AB\right|\) אז \(B\) נמצאת בין \(A\) ל-\(X\), ולכן גם \(C\) נמצאת בין \(A\) ל-\(X\) (1.15).\[
\Rightarrow r_{1}=\left|AX\right|=\left|AC\right|+\left|CX\right|=r_{1}\pm r_{2}+\left|CX\right|
\]\[
\Rightarrow\left|CX\right|=r_{1}-r_{1}\mp r_{2}=\mp r_{2}
\]\[
\Rightarrow\left|CX\right|=r_{2}
\]
אם \(r_{2}-r_{1}=\left|AC\right|\) נבחר נקודה \(X\in S\) המקיימת \(\left|AX\right|=r_{1}\) ו-\(\left|BX\right|=\left|BA\right|+r_{1}\). מכאן ש-\(A\) נמצאת בין \(B\) ל-\(X\), ולכן גם בין \(C\) ל-\(X\) (1.15).\[
\Rightarrow\left|CX\right|=\left|CA\right|+\left|AX\right|=r_{2}-r_{1}+r_{1}=r_{2}
\]
מסקנה 2.27. תהא \(S\) קבוצה קווית. אם קיימות שתי נקודות שונות \(A,B\in S\) המקיימות שלכל \(0<r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=\left|AB\right|\), קיימת נקודה \(X\in L\) המקיימת \(\left|AX\right|=r_{1}\) ו-\(\left|BX\right|=r_{2}\); אז לכל שתי נקודות \(C,D\in S\), ולכל \(0<r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=\left|CD\right|\), קיימת נקודה \(X\in L\) המקיימת \(\left|CX\right|=r_{1}\) ו-\(\left|DX\right|=r_{2}\).
מסקנה 2.28. קבוצה קווית \(S\subseteq\MKbbx\) היא ישר אם"ם קיימות שתי נקודות שונות \(A,B\in S\) המקיימות שלכל \(0<r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=\left|AB\right|\), קיימת נקודה \(C\in L\) המקיימת \(\left|AC\right|=r_{1}\) ו-\(\left|BC\right|=r_{2}\).
למה 2.29. תהא \(S\subseteq\MKbbx\) קבוצה קווית. לכל \(O\in S\), ולכל \(0<r\in\MKreal\), קיימות לכל היותר שתי נקודות שונות \(A,B\in S\) כך ש-\(\left|AO\right|=\left|BO\right|=r\).
הוכחה. יהיו \(O\in S\) ו-\(0<r\in\MKreal\), ונניח בשלילה שקיימות שלוש נקודות שונות \(A,B,C\in S\) כך ש-\(\left|AO\right|=\left|BO\right|=\left|CO\right|=r\). מכאן ש-\(O\) נמצאת בין כל שתיים משלוש הנקודות הללו6שכן ע"פ שוויונות המשולש המנוון אם אחת משלוש הנקודות הללו נמצאת בין \(O\) לנקודה אחרת הרי שמרחקה של זו גדול מ-\(r\)., אז זה עומד בסתירה לטענה 2.12. מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה וקיימות לכל היותר שתי נקודות כאלה.
מסקנה 2.30. לכל ישר \(L\subseteq\MKbbx\), לכל \(O\in L\) ולכל \(0<r\in\MKreal\), קיימות בדיוק שתי נקודות שונות \(A,B\in L\) כך ש-\(\left|AO\right|=\left|BO\right|=r\).
משפט 2.31. תהא \(L\subseteq\MKbbx\) קבוצה קווית שאינה ריקה, התנאים הבאים שקולים:
\(L\) היא ישר.
לכל נקודה \(O\in L\), ולכל \(0<r\in\MKreal\), קיימות שתי נקודות שונות \(A,B\in L\) כך ש-\(\left|AO\right|=\left|BO\right|=r\).
קיימת נקודה \(O\in L\) כך שלכל \(0<r\in\MKreal\), קיימות שתי נקודות שונות \(A,B\in L\) המקיימות \(\left|AO\right|=\left|BO\right|=r\).
הוכחה. \(\:\)
\(1\rightarrow2\) נניח ש-\(L\) היא ישר, תהא \(O\in L\) נקודה, ויהי \(0<r\in\MKreal\). מהיות \(L\) ישר נובע שיש ב-\(L\) נקודה נוספת מלבד \(O\) - תהא \(O'\) כנ"ל. מהיות \(L\) ישר נובע גם שקיימות שתי נקודות \(A,B\in L\) המקיימות:\[\begin{align*}
\left|AO\right| & =r & \left|AO'\right| & =\left|\left|OO'\right|-r\right|\\
\left|BO\right| & =r & \left|BO'\right| & =\left|OO'\right|+r
\end{align*}\]מכיוון ש-\(O\neq O'\) נדע ש-\(\left|OO'\right|\neq0\) ו-\(\left|AO'\right|\neq\left|BO'\right|\), ומכאן ש-\(A\neq B\).
\(2\rightarrow3\) - הגרירה טריוויאלית שכן \(L\) אינה ריקה.
\(3\rightarrow1\) נניח שקיימת \(O\) כנ"ל, תהא \(O\) כזו, תהא \(O\neq O'\in L\) (ע"פ התנאי קיימת \(O'\) כזו), ויהיו \(0<r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=\left|OO'\right|\). כמו כן תהיינה \(A,B\in L\) שתי נקודות שונות המקיימות \(\left|AO\right|=\left|BO\right|=r_{1}\), מהיות \(A\) ו-\(B\) נקודות שונות במרחק זהה מ-\(O\), ומהיות \(L\) קבוצה קווית, נובע ש-\(O\) נמצאת בין \(A\) ל-\(B\). ע"פ טענה 2.12 מתקיימת בדיוק אחת מארבע האפשרויות הבאות:
\(A\) נמצאת בין \(O\) ל-\(O'\), מכאן ש-\(\left|AO\right|<\left|OO'\right|\), ולכן \(\left|AO\right|+r_{2}=\left|OO'\right|=\left|AO\right|+\left|AO'\right|\), וממילא \(\left|AO'\right|=r_{2}\).
\(O'\) נמצאת בין \(A\) ל-\(O\), מכאן ש-\(\left|AO\right|>\left|OO'\right|\), ולכן \(\left|AO\right|-r_{2}=\left|OO'\right|=\left|AO\right|-\left|AO'\right|\), וממילא \(\left|AO'\right|=r_{2}\).
\(O'\) נמצאת בין \(B\) ל-\(O\), מכאן ש-\(\left|BO\right|>\left|OO'\right|\), ולכן \(\left|BO\right|-r_{2}=\left|OO'\right|=\left|BO\right|-\left|BO'\right|\), וממילא \(\left|BO'\right|=r_{2}\).
\(B\) נמצאת בין \(O\) ל-\(O'\), מכאן ש-\(\left|BO\right|<\left|OO'\right|\), ולכן \(\left|BO\right|+r_{2}=\left|OO'\right|=\left|BO\right|+\left|BO'\right|\), וממילא \(\left|BO'\right|=r_{2}\).
יהי \(\left(\MKclg,\left|\cdot\right|\right)\) מרחב מטרי, ותהא \(\angle\) מטריקה של קרנות על מרחב זה.
3.1 קבוצות מישוריות
הגדרה 3.1. תת-קבוצה \(S\subseteq\MKclg\) תיקרא מישורית אם לכל ארבע נקודות \(A,B,C,O\in S\) כך ש-\(A,B,C\) שונות מ-\(O\), אחת משלוש הקרנות \(R_{OA},R_{OB},R_{OC}\) נמצאת בין שתי האחרות, ו/או שהן מחלקות זווית שלמה.
מסקנה 3.2. תת-קבוצה \(S\) היא מישורית אם"ם לכל ארבע נקודות \(A,B,C,O\in S\) כך ש-\(A,B,C\) שונות מ-\(O\), מתקיימת לפחות אחת מארבע האפשרויות הבאות:\[\begin{align*}
\angle AOB & =\angle AOC+\angle COB\\
\angle AOC & =\angle AOB+\angle BOC\\
\angle BOC & =\angle BOA+\angle AOC\\
1 & =\angle AOB+\angle BOC+\angle COA
\end{align*}\]ובאופן שקול: \(\angle AOB=\left|\angle AOC\pm\angle COB\right|\) ו/או \(\angle AOB+\angle BOC+\angle COA=1\).
\(\clubsuit\)
נשים לב להקבלה בין מטריקה למטריקה של קרנות ובין קוויות למישוריות: קבוצה היא קווית אם"ם אחד מאי-שוויונות המשולש הופך בה לשוויון, והיא מישורית אם"ם אחד מאי-שוויונות הפירמידה הוא שוויון.
מסקנה 3.3. תת-קבוצה של קבוצה מישורית גם היא מישורית.
מסקנה 3.4. כל קבוצה בת שלושה איברים לכל היותר, היא קבוצה מישורית.
מסקנה 3.5. כל קבוצה קווית היא קבוצה מישורית.
הוכחה. תהא \(S\subseteq\MKclg\) קבוצה קווית, ותהיינה \(A,B,C,O\in S\) ארבע נקודות כך ש-\(A,B,C\) שונות מ-\(O\)7אם אין ב-\(S\) שתי נקודות שונות אז \(S\) מקיימת את ההגדרה באופן ריק..
אם \(O\) אינה נמצאת בין שתיים משלוש הנקודות האחרות, אז \(\angle AOB=\measuredangle BOC=\angle COA=0\), וממילא כל אחת משלוש הקרנות \(R_{OA},R_{OB},R_{OC}\) נמצאת בין שתי האחרות.
אחרת נניח בהג"כ ש-\(O\) נמצאת בין \(A\) ל-\(B\), ומכאן ש-\(\angle AOC=0\) או ש-\(\angle BOC=0\) (טענה 2.12). בכל מקרה נובע מזה ש-\(\angle AOB\geq\angle AOC+\angle COB\), ולכן ע"פ א"ש הפירמידה \(\angle AOB=\angle AOC+\angle COB\), כלומר הקרן \(R_{OC}\) נמצאת בין הקרנות \(R_{OA}\) ו-\(R_{OB}\).
הגדרה 3.6. נאמר שקבוצה מישורית \(S\subseteq\MKclg\) היא קבוצה מישורית מרבית (או קבוצה מישורית מקסימלית), אם לכל קבוצה מישורית \(S'\subseteq\MKclg\) המקיימת \(S\subseteq S'\) מתקיים \(S=S'\).
משפט 3.7. לכל שתי קבוצות מישוריות \(S,T\subseteq\MKclg\), אם יש ב-\(S\cap T\) שלוש נקודות שאינן קוויות אז \(S\cup T\) גם היא מישורית.
הוכחה. צריך לכתוב הוכחה.
מסקנה 3.8. לכל שלוש נקודות \(A,B,C\in\MKbbx\) שאינן קוויות קיימת קבוצה מישורית מרבית יחידה \(S\subseteq\MKbbx\) כך ש-\(A,B,C\in S\).
3.2 מישורים
למה 3.9. תהא \(S\subseteq\MKclg\) קבוצה מישורית. לכל \(A,B,O\in S\) כך ש-\(A,B\) שונות מ-\(O\) ו-\(\angle AOB\) אינה זווית מנוונת/שטוחה, לכל \(0<r\in\MKreal\), ולכל \(\theta_{1},\theta_{2}\in\left[0,\frac{1}{2}\right]\) כך ש-\(\left|\theta_{1}\pm\theta_{2}\right|=\angle AOB\) קיימת לכל היותר נקודה אחת \(C\in S\) המקיימת \(\left|CO\right|=r\), \(\angle AOC=\theta_{1}\) ו-\(\angle BOC=\theta_{2}\).
הוכחה. תהיינה \(A,B,O\in S\) כנ"ל, יהי \(0<t\in\MKreal\), ותהיינה \(\theta_{1},\theta_{2}\in\left[0,\frac{1}{2}\right]\) כך ש-\(\left|\theta_{1}\pm\theta_{2}\right|=\angle AOB\). נניח בשלילה שקיימות שתי נקודות שונות \(C,D\in S\) המקיימות \(\left|CO\right|=\left|DO\right|=r\), \(\angle AOC=\angle AOD=\theta_{1}\) ו-\(\angle BOC=\angle BOD=\theta_{2}\).
צריך להמשיך את ההוכחה.
הגדרה 3.10. תת-קבוצה \(M\subseteq\MKclg\) תיקרא מישור אם היא מקיימת את שלושת התנאים הבאים:
\(M\) מישורית.
קיימות שתי נקודות \(A,B,O\in M\) כך ש-\(A,B\) שונות מ-\(O\), ו-\(\angle AOB\) אינה זווית מנוונת/שטוחה.
לכל \(A,B,O\in M\) כך ש-\(A,B\) שונות מ-\(O\) ו-\(\angle AOB\) אינה זווית מנוונת/שטוחה, לכל \(0<r\in\MKreal\), ולכל \(\theta_{1},\theta_{2}\in\left[0,\frac{1}{2}\right]\) כך ש-\(\left|\theta_{1}\pm\theta_{2}\right|=\angle AOB\) קיימת נקודה \(C\in M\) המקיימת \(\left|CO\right|=r\), \(\angle AOC=\theta_{1}\) ו-\(\angle BOC=\theta_{2}\).
\(\clubsuit\)
כלומר מישור הוא קבוצה מישורית שאין בה "חורים".
\(\clubsuit\)
או במילים אחרות: "דרך שתי נקודות במישור ניתן להעביר ישר אחד ויחיד".
מסקנה 3.11. לכל מישור \(M\subseteq\MKclg\), ולכל שתי נקודות \(A,B\in M\) קיים ישר יחיד \(L\subseteq M\) כך ש-\(A,B\in L\).
הוכחה. תהיינה \(A,B\in M\) כך ש-\(A\neq B\), היחידות של ישר כנ"ל נובעת ישירות ממסקנה 2.20 ולכן נעסוק כאן רק בקיום. תהא \(S\) הקבוצה הקווית המרבית כך ש-\(A,B\in S\) (ע"פ מסקנה 2.10 אכן קיימת בדיוק אחת כזו). מהיות \(M\) מישור נובע שלכל \(0<r\in\MKreal\) קיימות שתי נקודות \(C,D\in M\) כך ש-\(\left|BC\right|=\left|BD\right|=r\), \(\angle ABC=0\) ו-\(\angle ABD=\frac{1}{2}\), יהיו \(r\) ו-\(C,D\) כנ"ל. מהיות \(M\) קבוצה מישורית נובע שלכל שתי נקודות כאלה מתקיימת אחת מארבע האפשרויות הבאות:\[\begin{align*}
\frac{1}{2}=\angle ABD & =\angle ABC+\angle CBD=0+\angle CBD=\angle CBD\\
0=\angle ABC & =\angle ABD+\angle DBC=\frac{1}{2}+\angle CBD>0\\
\angle CBD & =\angle CBA+\angle ABD=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\\
1 & =\angle ABC+\angle CBD+\angle DBA=0+\angle CBD+0=\angle CBD
\end{align*}\]האפשרויות השנייה והרביעית אינן אפשריות. מכאן ש-\(B\) נמצאת בין \(C\) ל-\(D\), ובפרט \(C\neq D\); כמו כן הוכחנו כעת ש-\(\left\{ A,B,C,D\right\} \) היא קבוצה קווית ומכאן ש-\(C,D\in S\). \(r\) הנ"ל היה שרירותי ולכן ע"פ משפט 2.31\(S\) היא ישר, ובנוסף - ממסקנה 2.30 נובע שישר זה מוכל ב-\(M\).
מסקנה 3.12. כל מישור מכיל אין-סוף ישרים שונים, בפרט כל מישור הוא קבוצה אין-סופית, ואם יש ב-\(\MKbbx\) מישורים אז יש ב-\(\MKbbx\) גם ישרים.
מסקנה 3.13. לכל מישור וישר שאינו מוכל בו יש לכל היותר נקודת חיתוך אחת.
4 מצולעים, דמיון וחפיפה
יהי \(\left(\MKbbx,\left|\cdot\right|\right)\) מרחב מטרי, ותהא \(\angle\) מטריקה של קרנות על \(\left(\MKbbx,\left|\cdot\right|\right)\).
4.1 מצולעים
מצולעים כלליים
הגדרה 4.1. מצולע ב-\(\MKbbx\) הוא גרף לא מכוון \(\left(V,E\right)\) כך ש-\(V\subseteq\MKbbx\), המקיים את ששת התנאים הבאים:
\(V\) היא קבוצה מישורית.
\(\left(V,E\right)\) סופי.
\(\left(V,E\right)\) קשיר.
\(\deg v=2\) לכל \(v\in V\).
כל שלושה קודקודים ב-\(V\)אינם קבוצה קווית.
לכל \(v_{1},v_{2},v_{2},v_{4}\in V\) כך ש-\(\left\{ v_{1},v_{2}\right\} \in E\) ו-\(\left\{ v_{3},v_{4}\right\} \in E\), לא קיימת נקודה ב-\(\MKbbx\) הנמצאת בין \(v_{1}\) ל-\(v_{2}\) וגם בין \(v_{3}\) ל-\(v_{4}\).
מסקנה 4.2. לכל מצולע יש לפחות שלושה קודקודים שונים.
\(\clubsuit\)
נוהגים לכנות מצולע בעל \(10\) צלעות ומטה לפי מספר הצלעות שלו: משולש (\(3\)), מרובע (\(4\)), מחומש (\(5\)), משושה, (\(6\)), משובע (\(7\)), מתומן (\(8\)), מתושע (\(9\)) ומעושר (\(10\)).
סימון:
נוהגים לסמן מצולע \(\left(V,E\right)\) ע"י כתיבת כל הקודקודים שלו ברצף (למשל כך: \(ABCDE\)), כאשר בין כל שני קודקודים סמוכים ברצף מחברת צלע, וגם בין הקודקוד הראשון לאחרון מחברת צלע.
הגדרה 4.3. יהי \(\left(V,E\right)\) מצולע, האורך של צלע \(e\in E\) הוא המרחק בין שני הקודקודים המרכיבים אותה.
הגדרה 4.4. ההיקף של מצולע \(\left(V,E\right)\) הוא סכום אורכי הצלעות שלו.
משולשים
מסקנה 4.5. לכל שלוש נקודות \(A,B,C\in\MKbbx\) שאינן קוויות, קיים מצולע יחיד \(\left(V,E\right)\) כך ש-\(V=\left\{ A,B,C\right\} \).
סימון:
לכל שלוש נקודות \(A,B,C\in\MKbbx\) שאינן קוויות, נסמן ב-\(\triangle ABC\) את אותו מצולע יחיד, וכפי שהזכרנו נקרא למצולע כזה משולש.
הסכמה:
נאמר שהזווית \(\angle ABC\) והצלע \(\left\{ A,C\right\} \) נמצאות זו מול זו, וכן עבור הזווית \(\angle BAC\) והצלע \(\left\{ B,C\right\} \), ועבור הזווית \(\angle ACB\) והצלע \(\left\{ A,B\right\} \).
\(\clubsuit\)
אין הכרח שתהיה נקודה \(D\in\MKbbx\) המקיימת את אחת הדרישות הללו, ולכן אין הכרח שיהיו חוצה-זווית / תיכון / גובה.
\(\clubsuit\)
כמובן שההגדרות תלויות במשולש שבו עובדים - גובה לצלע \(\left\{ A,C\right\} \) במשולש \(\triangle ABC\) אינו בהכרח גובה לצלע זו כשהיא חלק ממשולש אחר (וכן עבור תיכון וחוצה-זווית).
\(\clubsuit\)
בגלל מסקנה זו נוכל לדבר "חוצה-הזווית" ו"התיכון" לצלע.
מסקנה 4.6. האורך של כל שתי צלעות במשולש גדול ממש מאורך הצלע השלישית.
נניח שיש ב-\(\MKbbx\) משולשים, ויהי \(\triangle ABC\) משולש.
הגדרה 4.7. \(\:\)
נאמר ש-\(\triangle ABC\) הוא משולש שווה-צלעות (להלן גם: משו"צ) אם אורכי שלוש צלעותיו זהים.
נאמר ש-\(\triangle ABC\) הוא משולש שווה-שוקיים (להלן גם: משו"ש) אם יש לו שתי צלעות שאורכיהן זהים. במקרה כזה צלעות אלה תיקראנה שוקיים של המשולש, הצלע השלישית תיקרא בסיס שלו, הזווית שמולה תיקרא זווית ראש ושתי הזוויות האחרות תיקראנה זוויות בסיס.
נאמר ש-\(\triangle ABC\) הוא משולש שווה-זוויות אם שלוש זוויותיו שוות, כלומר \(\angle ABC=\angle BCA=\angle CAB\).
נאמר ש-\(\triangle ABC\) הוא משולש חד-זוויות אם שלוש זוויותיו חדות, כלומר \(\angle ABC,\angle BCA,\angle CAB<\frac{1}{4}\)8את היותן גדולות מ-\(0\) נקבל מהדרישה ששלושה קודקודים במצולע אינם קבוצה קווית..
נאמר ש-\(\triangle ABC\) הוא משולש ישר-זווית אם אחת משלוש זוויותיו ישרה, כלומר \(\angle ABC=\frac{1}{4}\) ו/או \(\angle BCA=\frac{1}{4}\) ו/או \(\angle CAB=\frac{1}{4}\).
נאמר ש-\(\triangle ABC\) הוא משולש קהה-זווית אם אחת משלוש זוויותיו קהה, כלומר \(\angle ABC>\frac{1}{4}\) ו/או \(\angle BCA>\frac{1}{4}\) ו/או \(\angle CAB>\frac{1}{4}\)9את היותן קטנות מ-\(\frac{1}{2}\) נקבל מהדרישה ששלושה קודקודים במצולע אינם קבוצה קווית..
הגדרה 4.8. תהא \(D\in\MKbbx\) נקודה כך ש-\(A,C,D\) קוויות (בהנחה שקיימת \(D\) כזו).
נאמר ש-\(\left[B,D\right]\) הוא חוצה-זווית של \(\angle ABC\) אם \(\angle ABD=\angle CBD=\frac{\angle ABC}{2}\).
נאמר ש-\(\left[B,D\right]\) הוא תיכון לצלע \(\left\{ A,C\right\} \) אם \(\left|AD\right|=\left|CD\right|\).
נאמר ש-\(\left[B,D\right]\) הוא גובה לצלע \(\left\{ A,C\right\} \) אם \(\angle ADB=\angle CDB=\frac{1}{4}\).
מסקנה 4.9. לכל זווית במשולש נתון קיים לכל היותר חוצה-זווית אחד, ולכל צלע במשולש נתון קיים לכל היותר תיכון אחד.
מסקנה 4.10. תהא \(D\in\MKbbx\) נקודה כך ש-\(A,C,D\) קוויות (נניח שיש \(D\) כזו).
אם \(\left[B,D\right]\) הוא חוצה זווית של \(\angle ABC\) במשולש \(\triangle ABC\), אז \(D\) נמצאת בין \(A\) ל-\(C\) והקרן \(R_{BD}\) נמצאת בין הקרנות \(R_{BA}\) ו-\(R_{BC}\).
אם \(\left[B,D\right]\) הוא תיכון לצלע \(\left\{ A,C\right\} \) במשולש \(\triangle ABC\), אז \(D\) נמצאת בין \(A\) ל-\(C\) והקרן \(R_{BD}\) נמצאת בין הקרנות \(R_{BA}\) ו-\(R_{BC}\).
4.2 דמיון
סימון:
כאשר נסמן פונקציה כלשהי ב-"\(\sim\)", נסמן גם \(\tilde{X}:=\sim\left(X\right)\) לכל \(X\) בתחום ההגדרה של \(\sim\).
סימון:
נסמן ששני מצולעים \(\MKseq A{}n\) ו-\(\MKseq B{}n\) הם דומים ע"י \(\MKseq A{}n\sim\MKseq B{}n\), כאשר הדמיון נעשה ע"י פונקציית דמיון10פונקציה זו אינה מסומנת בהכרח ב-"\(\sim\)", כאן מדובר בסימון קבוע לדמיון. המעתיקה את \(A_{i}\) ל-\(B_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
הגדרה 4.11. שתי קבוצות \(S,T\subseteq\MKbbx\) תיקראנה דומות, אם קיימת פונקציה חח"ע ועל \(\sim:S\rightarrow T\), המקיימת שלכל \(A,B,O\) כך ש-\(A,B\) שונות מ-\(O\), מתקיים:\[
\angle AOB=\angle\tilde{A}\tilde{O}\tilde{B}
\]פונקציה כזו תיקרא דמיון בין \(S\) ל-\(T\).
מסקנה 4.12. העוצמה של כל שתי קבוצות דומות זהה.
מסקנה 4.13. הפונקציה ההופכית של דמיון גם היא דמיון.
מסקנה 4.14. דמיון הוא יחס שקילות.
הגדרה 4.15. נאמר ששני מצולעים \(\left(V,E\right)\) ו-\(\left(V',E'\right)\) הם דומים, אם קיים דמיון \(\sim:V\rightarrow V'\) כך שלכל \(v,w\in V\) המקיימים \(\left\{ v,w\right\} \in E\) מתקיים \(\left\{ \tilde{v},\tilde{w}\right\} \in E'\); ובמקרה כזה אותו דמיון ייקרא דמיון מצולעים בין \(\left(V,E\right)\) ל-\(\left(V',E'\right)\).
מסקנה 4.16. לכל שני מצולעים דומים יש מספר קודקודים זהה.
מסקנה 4.17. הפונקציה ההופכית של דמיון מצולעים גם היא דמיון מצולעים.
מסקנה 4.18. דמיון מצולעים הוא יחס שקילות.
4.3 חפיפה
הגדרה 4.19. שתי קבוצות דומות \(S,T\subseteq\MKbbx\) תיקראנה חופפות, אם קיים דמיון \(\sim:S\rightarrow T\) כך שלכל \(A,B\in S\) מתקיים:\[
\left|AB\right|=\left|\tilde{A}\tilde{B}\right|
\]פונקציה כזו תיקרא חפיפה בין \(S\) ל-\(T\).
מסקנה 4.20. הפונקציה ההופכית של חפיפה גם היא חפיפה.
מסקנה 4.21. חפיפה היא יחס שקילות.
הגדרה 4.22. נאמר ששני מצולעים \(\left(V,E\right)\) ו-\(\left(V',E'\right)\) הם חופפים, אם קיימת חפיפה \(\sim:V\rightarrow V'\) כך שלכל \(v,w\in V\) המקיימים \(\left\{ v,w\right\} \in E\) מתקיים \(\left\{ \tilde{v},\tilde{w}\right\} \in E'\); ובמקרה כזה אותה חפיפה תיקרא חפיפת מצולעים בין \(\left(V,E\right)\) ל-\(\left(V',E'\right)\).
מסקנה 4.23. לשני מצולעים חופפים יש היקף זהה.
סימון:
נסמן ששני מצולעים \(\MKseq A{}n\) ו-\(\MKseq B{}n\) הם חופפים ע"י \(\MKseq A{}n\cong\MKseq B{}n\), כאשר החפיפה נעשית ע"י פונקציית חפיפה המעתיקה את \(A_{i}\) ל-\(B_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
מסקנה 4.24. הפונקציה ההופכית של חפיפת מצולעים גם היא חפיפת מצולעים.
מסקנה 4.25. חפיפת מצולעים היא יחס שקילות.
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );